Bild Schrödingers

* 12. August 1887
+ 4. Januar 1961

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ERWIN SCHRÖDINGER - Eine Lektüre
Differential

DIFFERENTIALGLEICHNUNG

(mathematische Herleitung der Schrödinger-Gleichung)

Die Schrödinger-Gleichung ist eine partielle Differetialgleichung - ähnlich einer Wellengleichung - und kann mit Hilfe der Wellenfunktion  die mikrophysikalischen Zustände und Vorgänge anschaulich beschreiben. Für das Wellenfeld des Wasserstoffatoms gelang Schrödinger die Berechnung der diskreten Energieniveaus. Diese stationären Zustände wurden als Eigenschwingungen in dem Sinne gedeutet, wie eine eingespannte Saite auch nur mit diskreten, durch die Randbedingungen festgelegten Frequenzen schwingt.

Die Wellenfunktion  Psi = f ( x, t )  sah Schrödinger zunächst als Schwingungsamplitude im dreidimensionalen Raum an. Später brachte er ihr Absolutquadrat mit der elektrischen Ladungsdichte in Zusammenhang. Er betrachtete das Elektron nur noch als eine Art Ladungswelle um den Atomkern.

Die halbklassische Interpretation der Schrödingerschen Wellenmechanik ließ sich jedoch in den Folgemonaten nicht mehr aufrechterhalten. Bei der Deutung der Wellenfunktion ergaben sich nicht überwindbare Schwierigkeiten, wie es ein ein Kleines Spottgedicht von Erich Hückel, dem Professor für theoretische Physik in Marburg, aus dem Jahr 1925 zeigt jenes deutlich:

"Gar Manches rechnet Erwin schon
Mit seiner Wellenfunktion.
Nur wissen möcht' man gern wohl,
Was man sich dabei vorstell'n soll."

Die ursprünglich von Schrödinger vorgetragene Identifizierung der Wellengleichung mit der klassischen räumlichen Ladungsdichte ist für die Betrachtung von Mehr-Elektronen-Systemen nämlich nicht geeignet. Die Physik einseitig auf ein durchgängiges Wellenkonzept zu gründen, konnte auch mit Welle-Teilchen-Dualismus nicht realisiert werden. Hierzu veröffentlichte Schrödinger seine Ergebnisse unter dem Titel "Quantisierung als Eigenwertproblem im Frühjahr 1926 in mehreren Artikeln in den "Annalen der Physik". Seine Veröffentlichung beinhaltet "Den stetige Übergang von der Mikro- zur Makrophysik", womit er die Physik in enge Wellengruppen (Wellenpakete) als Vertreter diskreter Teilchen einzuteilen versucht hat. Der Brückenschlag zwischen Makro- und Mikromechanik war somit getan. Allerdings konnte er sein Konzept nur an einem einzigen Beispiel, dem hamonischen Oszillator anwenden. Bei allen anderen Fällen zerfließen die Wellenpakete binnen kurzer Zeit, so daß es nach Schrödingerscher Theorie keine stabilen Elementarobjekte geben dürfe, das widerspricht jedoch allen Beobachtungen, denn es zeigen sich nur streng lokalisierte Teilchen. Schrödinger war sich dieses Widerspruchs bewußt, glaubte die Lösung sei nur "eine Frage des rechnerischen Könnens."

DIFFERENTIALGLEICHNUNG MIT WAHRSCHEINLICHKEITEN

Max Born wußte einen im Spätsommer 1926, nachdem er atomare Stoßvorgänge untersuchte. Das Studium der Streuung von Elektronen und Alphateilchen brachte zu aller Überraschung einen Zugang für das Verständnis der Schrödingerschen Wellenfunktion.Weil die -Funktion sehr komplexe Funktionswerte hat, betrachtet man die quadriert Wellenfunktion | psi ( x, t ) |2, Sie ist eine statistische Deutung und liefert die Wahrscheinlichkeit, daß das Teilchen an einem bestimmten Ort angetroffen werden kann. Es folgt, daß die Wellenfunktion lediglich die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses bestimmen kann; über das Ereignis selbst, z.B. die Emission eines Lichtquants - nichts auszusagen vermag, da sie den Vorgang nur in dessen Eigenschaften als Teil eines statistischen Ganzen betrachtet. Damit war die physikalische Grundaussage - fern jeglicher abwegiger Spekulationen - erfaßt.

Noch im Jahre 1926 zeigte Schrödinger die vollständige Äquivalenz zwischen Wellen- und Matrizenmechanik. Jedoch wurde mit Hilfe die Differentialgleichung für das Wellenbild des Wasserstoffatom wurde - nach Plancks Worten-  "die bis dahin etwas mysteriöse Wellenmechanik mit einem Schlage auf eine feste Grundlage gestellt wurde"

So wurde aus der Schrödinger-Gleichung eine lediglich statistische statt deterministische  Interpretation der Quantenmechanik, die mit der sogenannten "Kopenhagener Deutung" im Jahr 1927 eine relativ widerspruchsfreie Form erfuhr.

© Mike Friedrich and Daniel Schmidt

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