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DAS WELLENMECHANISCHE ATOMMODELL DES WASSERSTOFFATOMS Nimmt man die Energieberechnung des elektrischen Felds, zur Hilfe, so ergibt sich für die potentielle Energie
eines Elektrons im Wasserstoff-Atom
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e2 |
(G18) |
Epot = |
- |
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4  0r |
Führt man den Abstand zwischen Elektron und Atomkern r als Variable ein, so berechnet r aus
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(G19) |
r = |
\ |
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/ |
x2 + y2 + z2 |
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\/ |
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Man setzt den Ansatz
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- |
r
a |
(G20) |
 1=
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C e |
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in die Schrödinger-Gleichung ein und es ergibt sich eine kugelsymmetrische Lösung. Der Abstand r und Energie E1 wird wie folgt berechnet wird wie nach Bohrschen Vorstellungen
berechnet. Die Konstante C ist noch nicht bekannt.
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0h2 |
(G21) |
a = |
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me |
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me e4 |
(G22) |
E 1 = |
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8 02h2 |
Die Wahrscheinlichkeistdicht 12ist das Quadrat der Wellenfunktion.
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- |
2 r
a |
(G23) |
12= |
C 2 e |
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Eine Integration über das gesamte Volumen muß 1 ergeben, da die Wahrscheinlichkeit es dort anzuttreffen 1 ist.
Weil dV = 4 r2 dr, folgt
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2 r |
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- |
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(G25) |
4 C2 |
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r2 e |
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a |
dr |
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0 |
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und wiederum daraus
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- |
2r
a |
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a3
4 |
(G26) |
C2 = |
1
a3 |
mit |
0 |
r2e |
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dr = |
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Endlich erhält man die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion
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- |
2r
a |
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1 |
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0h2 |
(G27) |
12 = |
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e |
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mit a = |
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a3 |
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mee2 |
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Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion führt aber zu dem Widerspruch, daß Elektronen wohl kaum in Atomkernnähe sich am häufigsten aufhalten. Die Funktion wird deshalb genauer formuliert.
Die Wahrscheinlichkeit W berechnet sich aus
(G28) W = | |2
und Elekronen kommen vorrangig nur im Volumenelement  V - einer
dünnen Kugelschale der Radien r und r +r.
(G29) W = | |2 4 r2 r
mit V=4 r2 r.
Legende:
schwarz
als Funktion des Radius r (Wahrscheinlichkeitsaplitude, Grundzustand)
rot 2
als Funktion des Radius r (Wahrscheinlichkeitsdichte)Der erste Zustand des Elektrons im Wasserstoffatom hat folgende Wahrscheinlichkeiten.
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- |
2 r
a |
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(G30) |
W1 = |
4 r2
a3 |
e |
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r mit |
a = |
0h2
me e2 |
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Die Wahrscheinlichkeitsfunktion W hat im Bohrschen Radius a=5,29 10-11ein Maximum.
Die räumliche Darstellung bringt eine Wahrscheinlichkeistwolke hervor, und in
der Chemie wird diese Orbital genannt. Es ist der Raum nämlich, in dem Elektronen zu 90%iger Wahrscheinlichkeit angtroffen werden kann. Bei einem Energiezustand n gibt es n2 Lösungen nach
der Schrödinger-Gleichung. Im zweiten Energiezustand liegen deshalb zwei verschieden ||2
-Funktionen unterschiedlicher räumlicher Konstitution vor. |
Legende:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion W1
des Wasserstoffatomsgibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit das Elektron in einer Kugelschale mit dem Radius r und der Dicke r = 10-13 m zur Wirkung kommt.
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Um die möglichen verschieden angeregten Zustände des Elektrons den möglichen Wellenfunktion zuzuordnen, ist es sinnvoll sogenannte Quantenzahlen einzuführen. |
