* 12. August 1887
+ 4. Januar 1961

DER MATHEMATISCHE WEG ZUR SCHRÖDINGER-GLEICHUNG

Grundlage ist die Betrachtung des linearen Potentiatopfs. Für eine stehende Welle wird die Elongation s( x, t ) , die am Ort x zur Zeit t vorliegt, durch die aus der klassischen Mechanik stammende Gleichung (G10) für stehende Welle berechnet.
Nun betrachtete Schrödinger ein Elektron in einem linearen Potentialtopf, dem er eine stehende Welle zugordnet. Die Berechnung der Elongation wird von der Gleichung (G11) auf das Elektron übertragen. Dabei ist s nun  und der Zeitfaktor nun ₂.
 

						2
(G10)	s ( x, t )	=	2 smax sin (  t )		cos(		x)
						2
(G11)	( x, t )	=	2		cos(		x)
Durch zweimailges Differentieren nach dx erhält man:
	d			2		2
(G12)		=	-2		sin(		x)
	dx
	d2			222		2
(G13)		=	-2		cos(		x)
	dx2			2
Nun erhält man:
	d2			42
(G14)			+			=		0
	dx2			2

Der Gleichung (G14) muß die Funktion y genügen, um den Zustand des kräftefreien Elektrons im eindimensionalen Fall zu beschreiben.
Den dreidimensionalen Fall ( x, y, z ) erfaßt die Gleichung (G15).
 

	d2		d2		d2		42
(G15)		+		+		+			=	0
	dx2		dy2		dz2		2

Diese Gleichung ist für ein freies Elektron als de Broglie-Welle im Potentialtopf, auf das keine Kraft wirkt. Aber auf Elektronen wirken die Coulombschen Anziehungskräfte des positiv geladenen Atomkerns wirken. Schrödinger betrachete das Elektron im elektrischen Feld energetisch.

E: Gesamtenergie;    E_pot : potentielle elektrische Energie eines Radialfeldes;     E_kin: kinetische Energie
(G16)   E  = E_pot   +  E_kin ;    E  = E_pot   + 1/2 m_e v²
Die Geschwindigkeit v des Elektrons beträgt:
 

					/	2
(G17)	v	= \		/			( E - Epot )
			\/			me

Nach der de Broglie-Beziehung (G1) wird daraus die allseits bekannte Schrödinger-Gleichung:
 

	d2		d2		d2		8
(G0)		+		+		+		( E - Epot)	= 0
	dx2		dy2		dz2		h2

Jede -Funktion, die diese Gleichung erfüllt, beschriebt einen möglichen Zustand für das Elektron in der Atomhülle.

Es kann also jeder Lösung der Gleichung ein Zustand zugeordnet werden. Schrödinger hat nun das einfachste Atom - das Wasserstoff-Atom - betrachtet und mögliche Funktionen zur Erfüllung der Gleichung eingesetzt.

© Mike Friedrich and Daniel Schmidt

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